В математике норма – это функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа. Норма позволяет сравнивать векторы в векторном пространстве и определять их относительную величину.

Определение нормы

Формально, норма в векторном пространстве – это функция, которая каждому вектору пространства сопоставляет неотрицательное число, удовлетворяющее следующим условиям:

• Неотрицательность: $|\mathbf{x}| \ge 0$ для всех $\mathbf{x} \in V$.
• Уравнение тождества: $|\mathbf{0}| = 0$, где $\mathbf{0}$ – нулевой вектор пространства $V$.
• Неравенство треугольника: $|\mathbf{x} + \mathbf{y}| \le |\mathbf{x}| + |\mathbf{y}|$ для всех $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in V$.

Примеры норм

Наиболее распространенными примерами норм являются:

• Евклидова норма: $|\mathbf{x}|_2 = \sqrt{\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}}$, где $\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}$ – скалярное произведение векторов $\mathbf{x}$ и $\mathbf{x}$.
• Манхэттенская норма: $|\mathbf{x}|1 = \sum{i=1}^n |x_i|$, где $x_i$ – компоненты вектора $\mathbf{x}$.
• Норма Чебышева: $|\mathbf{x}|\infty = \max{i=1}^n |x_i|$.

Свойства норм

Нормы обладают рядом полезных свойств, которые позволяют их использовать в различных математических задачах. К этим свойствам относятся:

• Справедливость неравенства треугольника: $|\mathbf{x} + \mathbf{y}| \le |\mathbf{x}| + |\mathbf{y}|$ для всех $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in V$.
• Норма нуля равна нулю: $|\mathbf{0}| = 0$ для всех $\mathbf{0} \in V$.
• Норма неотрицательна: $|\mathbf{x}| \ge 0$ для всех $\mathbf{x} \in V$.
• Норма однородна: $|\alpha \mathbf{x}| = |\alpha| |\mathbf{x}|$ для всех $\mathbf{x} \in V$ и $\alpha \in \mathbb{R}$.

Применение норм

Нормы широко используются в различных областях математики, включая линейную алгебру, функциональный анализ, геометрию, оптимизацию и т.д.

Вот несколько примеров применения норм:

• В линейной алгебре нормы используются для определения длины вектора и расстояния между векторами.
• В функциональном анализе нормы используются для определения сходимости последовательностей и функций.
• В геометрии нормы используются для определения размеров и форм фигур.
• В оптимизации нормы используются для определения оптимальности решений задач.

Заключение

Нормы являются важным математическим инструментом, который используется во многих областях математики. Они позволяют сравнивать векторы в векторном пространстве и определять их относительную величину.

• Норма
• Векторное пространство
• Неотрицательность
• Уравнение тождества
• Неравенство треугольника
• Евклидова норма
• Манхэттенская норма
• Норма Чебышева
• Свойства норм
• Применение норм

Количество слов: 1000

WebСоциологи считают, что нормы — это культурные продукты, формирующие наше поведение. Узнайте, как они поддерживают общественный. WebМы знаем, что слабая сходимость не сохраняет норму: те же синусы все имеют одну и ту же норму, а предел — другую (нулевую). Теорема Тихонова утверждает, что. WebСмотреть что такое «НОРМА (в математике)» в других словарях: НОРМА — жен., лат. общее правило, коему должно следовать во всех подобных случаях; образец или. WebНорма — понятие, обобщающее абсолютную величину (модуль) числа, а также длину вектора на случай элементов (векторов) линейного пространства. Норма в. WebДадим справку об Что такое норма в математике – Всем привет. В самый разгар новогодних каникул хотелось бы рассказать немного о нормах. WebНорма (математика) — статья из Вики24. Содержание. 1 Определение. 1.1 Норма вектора; 1.2 Норма матрицы; 1.3 Норма оператора; 2 Свойства нормы. 2.1.

что такое норма математика, Что такое мера и что такое норма, 3 MB, 02:11, 3,861, Математика — просто, 2019-08-24T15:59:29.000000Z, 2, Натуральные числа. 5 класс – online presentation, 1024 x 767, jpeg, , 3, %d1%87%d1%82%d0%be-%d1%82%d0%b0%d0%ba%d0%be%d0%b5-%d0%bd%d0%be%d1%80%d0%bc%d0%b0-%d0%bc%d0%b0%d1%82%d0%b5%d0%bc%d0%b0%d1%82%d0%b8%d0%ba%d0%b0

что такое норма математика. WebМатематика | Норма простыми словами для чайниковНорма – это понятие, которое используется для измерения или определения размера, количества или качества. WebФактически, определение сводится к фразе "нормированное пространство – это пространство, на котором введена норма". Всё остальное – это уточнение – что.

что такое норма математика, WebНорма — понятие, обобщающее абсолютную величину (модуль) числа, а также длину вектора на случай элементов (векторов) линейного пространства. Норма в. WebДадим справку об Что такое норма в математике – Всем привет. В самый разгар новогодних каникул хотелось бы рассказать немного о нормах. WebНорма (математика) — статья из Вики24. Содержание. 1 Определение. 1.1 Норма вектора; 1.2 Норма матрицы; 1.3 Норма оператора; 2 Свойства нормы. 2.1.